因为哥廷根是大学城，这里一到圣诞节前后就空空荡荡。
在60年代，这里常驻人口12万左右，其中学生数量就有3万人。
其中外地学生至少七成。
今年和往年不一样，今年的哥廷根比往年要热闹一些。
世界各地的数学家都先飞机到法兰克福然后火车前往哥廷根。
如果说整个城市要热闹一些，那哥廷根本地报纸以及哥廷根所在下萨克森州的区域电视台用热闹非凡来形容毫不为过。
1965年，西德的电视广播主要由公共广播联盟（ARD）和第二德意志电视（ZDF）组成。
其中ARD由多个区域广播公司组成，每个公司覆盖一个或多个联邦州，提供全国性节目和区域性节目。
NDR的第三频道就专门服务于下萨克森州等地区。
所有和此次林燃回哥廷根有关的新闻，都事无巨细作为本地新闻报道。
就差打出教授，欢迎回家的横幅了。
“福克斯，还好你们提前联系我了，不然现在在哥廷根很难找到足够的酒店，尤其像房间号是223、227这样的房间更是被疯抢。”多伊林带着哥伦比亚大学一行人前往哥廷根大学的学生宿舍。
提前带队赶到哥廷根的福克斯压根就没想过要找酒店住，他直接联系上了多伊林，麻烦他们帮忙安排学生宿舍。
因为福克斯很清楚，做研究，尤其是涉及到突破，那肯定是废寝忘食，压根不可能像普通讲座那样，讲四个小时就休息。
百分百是不间断的马拉松。
林燃不间断，他们作为观众，肯定也不能间断。
得从头听到尾。
那么在这种情况下，住的地方好坏就不重要了，有个落脚地最重要。
福克斯想的就是，最好的落脚点肯定就是哥廷根大学的学生宿舍。
至于两个人挤一间房，这压根就不重要。
他甚至都没打算要回宿舍，福克斯和他带队的数学教授们人手一个睡袋。
大家的计划是直接现场把睡袋往地上一铺直接睡。
有个学生宿舍作为落脚地，无非是有备无患而已。
福克斯听到多伊林这样说，数学家的敏锐度还是够的：“因为伦道夫要证明孪生素数猜想，所以这些素数门牌号的房间被疯抢是吧。”
他一下就找到这两个数字的特点，都是素数。
多伊林苦笑道：“不仅如此。”
他把林燃在伦敦的所作所为，关于克拉里奇酒店素数悟道的想法说给福克斯听。
这也是还在伦敦的西格尔给他转述的，然后多伊林当成趣闻传播了出去。
被本地媒体报道出去。
符合条件的房间本来就少，加上这个时间点，导致257和523被定完了，然后其他13个数字重复的三位数孪生素数门牌号的房间也被疯抢。
福克斯听完后笑道：“我感觉这以后会变成数学家传统。
像明年的国际数学家大会，主办方给大家定酒店，大家肯定都想住257和523房间，其次是223、227这样的。”
多伊林苦笑道：“没错，这还是建立在教授没证明孪生素数猜想的前提下。
如果他这次真的成功了，那孪生素数房间有助于思考，大家要深信不疑了。”
福克斯笑道：“看来我回哥伦比亚的第一件事就是把数学系门牌号全部都改成素数，这样大家就不会争了。
只是这样的素数有限，到时候大家办公室门牌号越来越长。”
多伊林说：“还是教授的影响力太大，哥廷根本地的报纸都调侃，说现在的哥廷根，一块砖头下去能砸到一片数学家。”
1965年1月4日下午，哥廷根火车站人头攒动。
林燃从伦敦乘火车中转两趟抵达哥廷根，跟着他身边的是西格尔和珍妮以及西德的高官，前面有安保人员开道，后面也有安保人员。
火车站四处都能看见警察。
哥廷根火车站的安保从来没有如此完善过。
来迎接他的是哥廷根大学的校长奥托·库默尔，数学系主任多伊林和几位老教授。
车站外，学生志愿者举着欢迎牌，整个西德乃至欧洲的记者云集，手持笔记本，记录这一历史时刻。
“教授，我很期待见证你的奇迹。”奥托握手后说道。
多伊林接着：“教授，舞台已经搭好了，就等着看你表演了，整个哥廷根都已经迫不及待了。”
讲座在哥廷根大学的主楼大礼堂举行，这座18世纪的古典建筑以其穹顶和雕花柱子闻名，可容纳500人。
根据哥廷根大学历史，大礼堂常用于重要学术活动，如诺贝尔奖得主演讲。
1965年1月5日这天，礼堂座无虚席，额外观众挤满走廊，大学在附近教室设置扬声器转播，并在庭院安排临时座位，供学生和无法入场的学者聆听。
除了这些外，哥廷根本地的电视台架起了摄像头，打算全程直播。
礼堂内，舞台中央是密密麻麻的黑板，只有黑板。
“女士们、先生们，让我们先以热烈的掌声欢迎伦道夫·林回到哥廷根。”奥托说。“哥廷根是教授的母校，我们以培养了伦道夫·林这样优秀的学生而感到骄傲和自豪，接下来的时间让我交给伦道夫。”
林燃低声和西格尔说了句：“教授，记录的事情就交给你了。”
西格尔点头，“没问题。”
林燃走上舞台，台下响起山呼海啸般的掌声。
等到掌声平息后，林燃说：
“女士们，先生们，尊敬的同僚们，亲爱的朋友们，早上好！
能回到哥廷根，这片孕育了我数学梦想的土地，我感到无比荣幸。站在这个大礼堂，我仿佛又回到了学生时代，那时我在这儿听希尔伯特的继承者们讲授数论，熬夜钻研欧几里得的证明，试图窥探素数的奥秘。
当然，那时的我从未想过，自己能够证明费马猜想，能够提出伦道夫纲领，更没有想过，有一天我会站在这里，试图挑战：孪生素数猜想。
从希尔伯特教授在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出后，距今已经整整65年。”
林燃转身，在黑板上写下“3， 5”、“5， 7”、“11， 13”，然后转回身，目光扫过观众，语气变得郑重。
“这些数字，你们都认识。
它们是孪生素数，差为2的素数对。
它们看似简单，却隐藏着前人的猜测：是否存在无限多的这样的对？
这个问题最早可以追溯到古希腊，欧几里得证明了素数的无限性，但对于孪生素数，他留给了我们一个未解之谜。
时间快进到19世纪，数学家们开始认真思考这个问题。
1849年，阿尔丰斯·德·波利尼亚克提出了一个更广义的猜想，断言对于任意偶数k，存在无限多素数对p和p′使得p′p=kp'-p=kp′p=k。
当k=2，这就是我们的孪生素数猜想。”
林燃接着在黑板上写下p′p=2p'-p=2p′p=2
“这一猜想看似直观，数论总是这样，非常直观，问题每个人都能看懂，但在数学的严谨世界里，它就像一座难以攀登的高峰。”
林燃的语速很快，用的是英语，标准英语让在座每一位学者都能听清。
德意志人对德语没有法兰西人那么坚持。
林燃转为沉思，步伐放慢，双手背在身后，目光投向礼堂深处，仿佛在追溯历史。
“到了20世纪初，数学家们开始用更强大的工具攻克素数分布的问题。1919年，挪威数学家维戈·布伦取得了突破。
他发明了一种被称为布伦筛的技术，证明了孪生素数的倒数之和是收敛的。”
林燃接着在黑板上写道：
“这意味着什么？与所有素数的倒数是发散的相比，孪生素数是如此稀疏，以至于它们的倒数和竟然不会趋向无穷。
布伦的定理告诉我们，孪生素数不像普通素数那样常见。它们的稀疏性让证明无限性变得异常困难。但这不正是数学的魅力吗？当我们面对一个看似不可能的问题时，我们的创造力才会被真正激发。”
伦道夫走向讲台一侧，拿起一杯水小啜一口，目光扫过台下。
记者在角落里低声讨论，试图捕捉林燃的每一句话。
礼堂内的气氛从紧张转为期待，观众们被他的叙述带入了素数世界。
“布伦的工作虽然没有证明猜想，但他为我们指明了方向。哈代和利特尔伍德后来用圆法提供了启发式支持，估计孪生素数对的数量近似于(log)2C(logx)2x，其中是孪生素数常数，约为1.32032。”
林燃接着在黑板上写下公式。
“但这些都是概率性的预测，离真正的证明还很远。
今天，我站在这里，不是要重复这些预测，而是要向你们展示一个可能的答案——一个用解析数论和筛法结合的证明，试图揭开孪生素数猜想的面纱。
接下来的六天，我们将一起踏上这场旅程。
从素数的分布到筛法的精妙，再到解析数论的深奥工具，我希望能说服你们，这个猜想不再是猜想，而是定理。
当然，我知道你们中有很多人，尤其是哥廷根的教授们，会用最严苛的标准审视我的证明。
这正是我期待的！让我们开始吧！”
台下的观众们都在鼓掌，西格尔也是如此，不过他和其他人想法不同，他的感觉更加奇特了。
西格尔教授很确定，这就是林燃在补完他曾经没能在哥廷根大学做的毕业论文答辩。
他坐直了身子，心想“伦道夫，让我来见证你的传奇吧，用行动证明哥廷根学派没有消亡，它因为有你而会变得更加辉煌。”
林燃转身，在黑板上写下Day 1。
从写下Day 1开始，在座的学者们就有种狂飙突进的感觉。
因为林燃的速度太快了。
林燃要先掏出张益唐的结果，也就是存在无限多素数对，其差小于7000万，然后再掏出陶哲轩的改进版结果，把这个差值从7000万缩小到246.
但他不能直接用张益唐的结果。
因为张益唐的论文是建立在GPY筛法和Bombieri， Friedlander和Iwaniec关于素数算术级数分布的4/7水平结果的基础上。
这两个，GPY筛法2005年才在arxiv上出现，Bombieri， Friedlander和Iwaniec三人的论文则是在1987年才出现。
林燃在1965年要复现，不能直接用张益唐的结果，得先把前缀论文写出来。
因此第一天
黑板上的公式不断堆积，林燃说的很少，写的很多，一直在走来走去。
黑板写满之后，往旁边推。
写满一张推一张，事先让哥廷根大学准备的就是移动黑板。
哥廷根大学也乐得如此，他们一张都不希望擦。
如果林燃真的能证明成功，这些都是数学系的圣遗物，传承越久越有价值。
“好，我的核心思路梳理出来了。
我从可接受k元组开始。
这些k元组，这些整数对每个素数p至少有一个剩余类不被覆盖，确保可能全为素数。
我的目标是证明，存在k，使得有无限多n，元组({n+h_1， n+h_2，\ldots， n+h_k})中至少有两个素数。这将意味着素数对的间隙有限。
我使用了Selberg筛法的变体，构造一个权重函数，检测元组中至少有两个素数的情况。
通过优化参数，我估计了满足条件的n的数量。关键是确保主项大于误差项。”
“误差项的控制需要素数在算术级数中的分布知识。
我们要先允许平均模数至x^{1/2}。
然后再对它进行增强，适用于平滑模数，扩展分布水平，这一步的处理是为了让筛法能处理大k值。
通过这些工具，我证明对于足够大的k，存在有限的N，使得有无限多素数对差不超过N。
然后我们先找到一个N，然后慢慢把这个N的值缩小，让它最终等于2.”
林燃说完后台下学者们的表情很严肃。
因为林燃提出的思路不是什么奇怪的思路，是非常正统的，和过去数学家们围绕这个问题的思考没有本质的区别。
只是林燃提到的方法，会有一些创新的地方。
如果单单只是这个思路，要解决孪生素数猜想，显然是不够的。
“我们现在开始第一步，先从解析数论开始动手，我们先要马克·巴尔班的结果往前推。
先要证明对于x附近的特定Q，假若我们忽略对数项，则平均误差可小至x的二分之一。
然后再把这个结果扩展，把模数从二分之一扩展到七分之四，使素数分布的误差项控制在更大的模数下成立，适用于解析数论中的筛法问题。”
林燃开始，他写的时候很安静，只有在讲解的时候才会说话。
说的很少。
写着写着台下来自普林斯顿的数学系教授们人已经麻了。
因为林燃随手写的结果就是普林斯顿高等数学研究院今年要发表的大成果。
x取二分之一，在数学上，叫邦别里-维诺格拉多夫定理；又称邦别里定理，是解析数论上的一个主要成果，与在一系列模数上取平均值的算术数列中的质数分布相关。
这类结果最早在1961年由马克·巴尔班取得，而邦别里—维诺格拉多夫定理则是巴尔班结果的细化
这一成果正好发表于1965年，由普林斯顿的恩里科·邦别里和阿斯科尔德·维诺格拉多夫解决，所以叫邦别里-维诺格拉多夫定理。
他们一直要到二十多年后的1987年，才把这个结果从二分之一推进到七分之四。
而林燃现在，现场就要把他们的结果顺手证了，然后还要做到远超他们的结果。
林燃越写，来自普林斯顿的教授们脸就越黑。
因为林燃在二分之一这个结果，写的无懈可击，那么意味着他往后推到七分之四也大概率是对的。
这种挫败感就像是你辛辛苦苦上蹿下跳各种走位加大招才打掉的怪，别人随手一发平A就给秒了。
打的比你快，打的姿势还比你更优美。
“好，大家看到，我们这里已经完成了证明。
刚才证明了素数在算术级数中的分布可达到=4/7的水平。
具体来说，它表明对于模数≤4/7，素数在算术级数(mod)（gcd(，)=1中的分布误差项可以被有效控制。
这一结果扩展了模数范围，使筛法在更大范围内适用。
这里的主要思考，其实是通过引入双线性形式估计和分散化技术，克服了传统方法的局限，提升了素数分布的分析能力。
我们为后续孪生素数猜想整体思路里的有限间隙奠定了基础。”（记住本站网址，Ｗｗｗ．WX52．info，方便下次阅读，或且百度输入“ xs52 ”，就能进入本站）