早晨七点五十分，高数教室。
林澈坐在第三排靠窗的位置，阳光斜照在摊开的空白草稿纸上，泛起一层毛茸茸的金边。教室里弥漫着考试前特有的紧张气息——翻书声、窃窃私语声、笔尖划纸声，还有前排女生拧开风油精的清脆声响。
他低头看着试卷。
《高等数学A（1）第一次月考》，题头印刷着宋体字。前世，这张卷子他得了61分，擦线及格，主要失分在最后两道证明题。他还记得赵建国教授批改时用红笔写的评语：“思路混乱，基础不牢，建议课后多练习。”
这一次，他要写一个完全不同的故事。
“考试开始。”
讲台上，监考的赵建国教授推了推老花镜，声音沉稳。他是系里有名的严师，五十多岁，头发花白但梳得整齐，中山装熨烫得一丝不苟。
林澈拿起笔。
第一题，求极限。$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\tan5x}$
前世他用了洛必达法则，计算过程中漏了一个系数，得出了$\frac{3}{5}$的错误答案。正确答案应该是$\frac{3}{5}$……不，等等。
林澈的笔尖停顿了。
记忆告诉他答案是$\frac{3}{5}$，但直觉在报警。他闭上眼睛，七年前的记忆像老照片一样在脑中展开——他记得考完对答案时，学霸张涛说第一题是$\frac{3}{5}$，但第二天赵建国讲解时，说正确答案是$\frac{3}{5}\cdot\frac{\cos0}{\cos0}$……不对，$\tan5x$在$x\to0$时等价于$5x$，$\sin3x$等价于$3x$，所以——
笔尖落下：$\frac{3}{5}$。
写完后，林澈盯着那个数字看了三秒。有什么地方不对劲。他看向窗外，梧桐树的影子在地上轻轻摇晃。记忆和直觉在打架。
“同学，专心答题。”赵建国的声音从讲台传来。
林澈收回目光，继续往下做。
第二题，求导数。$y=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)$
这道题前世他做对了，但步骤繁琐。现在他一眼看出可以直接用双曲函数性质简化：这其实就是$\operatorname{arsinh}x$的导数，等于$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$。
他在草稿纸上写下标准解法，然后在旁边用更小的字写了一行：“另解：由$y=\operatorname{arsinh}x$直接得。”
第三题，定积分。$\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{1+\cos x}dx$
前世他用了万能公式代换，算了半页纸，最后还算错。现在他看到被积函数可以写成$\frac{\sin x}{1+\cos x}=\tan\frac{x}{2}$，而$\tan\frac{x}{2}$的原函数是$-2\ln|\cos\frac{x}{2}|$。
三十秒，答案：$\ln2$。
做到这里，林澈的速度明显超过了教室里所有人。笔尖划过纸张的声音稳定而密集，像精密的机械在运转。前排的苏雨薇回头看了他一眼，眼神里有点惊讶。
第四题，微分方程。$y''-3y'+2y=e^{2x}$
特征方程$r^2-3r+2=0$，根$r_1=1,r_2=2$。特解形式应为$Axe^{2x}$，代入得$A=1$。通解$y=C_1e^x+C_2e^{2x}+xe^{2x}$。
一气呵成。
第五题，空间解析几何。求过点$(1,2,3)$且与平面$x+y+z=1$垂直的直线方程。
方向向量即为平面法向量$(1,1,1)$，直线方程$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1}$。
林澈写完这题时，考试才过去十五分钟。大部分同学还在做第二题。
他放下笔，活动了一下手腕。窗外的阳光更亮了，照在试卷上有些反光。他侧过身，让阳光避开视线，这个动作引起了赵建国的注意。
教授从讲台走下来，皮鞋底敲击瓷砖地面的声音在安静的教室里格外清晰。他先是在过道里慢慢巡视，经过林澈身边时，目光在几乎写满的试卷上停留了两秒。
然后又绕回来。
这次他停在林澈桌边，弯腰看他的答题纸。
林澈能闻到教授身上淡淡的粉笔灰和旧书混合的味道。赵建国看了大概十秒钟，什么也没说，直起身继续巡视。但林澈注意到，教授走回讲台的步伐比刚才快了一些。
第六题，级数收敛性。$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$
用比值判别法，$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+1}\cdot(\frac{n}{n+1})^n=\frac{1}{e}0$，$g(x)$严格递增，$g(1)>g(0)=0$，即$e^{-1}f(1)>0$，$f(1)>0$，这有可能成立，不矛盾。
所以不能直接证明。
他闭上眼睛，深呼吸。考场上的空气混着纸墨和汗水的味道。前世那些熬夜复习的夜晚在脑中浮现——他在图书馆抄过这道题的答案，赵建国在黑板上讲过……
构造函数$F(x)=e^{-x^2}f(x)$，然后……然后要用罗尔定理！因为$F(0)=0$，还需要另一个零点才能用罗尔定理。但题目只给了$f(0)=0$，没给$f(1)=0$。
除非——
林澈睁开眼睛。
除非$f(1)$恰好等于某个值，使得$F(1)=F(0)$？不对，那太巧合了。
他的目光落在试卷的题号上：“七、证明题（15分）”。记忆的闸门突然打开：前世考完后，赵建国在讲解时说：“这道题的关键是构造辅助函数$g(x)=e^{-x^2}f(x)$，然后对$g(x)$应用柯西中值定理，取另一个函数为$h(x)=e^{x^2}$……”
对了！
林澈几乎要拍桌子。他立刻在草稿纸上写：
“构造函数$g(x)=e^{-x^2}f(x)$，$h(x)=e^{x^2}$。则$g(0)=0$，$h(0)=1$，且$g(x),h(x)$在$[0,1]$上满足柯西中值定理条件。故存在$\xi\in(0,1)$，使得
$\frac{g(1)-g(0)}{h(1)-h(0)}=\frac{g'(\xi)}{h'(\xi)}$
即$\frac{e^{-1}f(1)}{e-1}=\frac{e^{-\xi^2}[f'(\xi)-2\xi f(\xi)]}{2\xi e^{\xi^2}}$
化简得$f'(\xi)-2\xi f(\xi)=\frac{2\xi e^{2\xi^2-1}}{e-1}f(1)$”
还是不对，右边仍有$f(1)$。
林澈感到额头渗出细汗。记忆就像隔着一层毛玻璃，能看到轮廓但看不清细节。他确定赵建国讲过这道题，确定答案用到了柯西中值定理，但具体怎么消去$f(1)$……
“还有三十分钟。”赵建国的声音响起。
教室里一阵骚动。时间压力开始显现。
林澈强迫自己冷静。他盯着题目，一个字一个字地读：设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$。
已知条件只有这些。要证明存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=2\xi f(\xi)$。
这意味着，无论$f(1)$是多少，总能找到这样的$\xi$。
一个想法突然冒出来：如果对任意的$f(1)$都能找到$\xi$，那么特别地，取$f(1)=0$时，由罗尔定理立即得证。但$f(1)$不一定为零……
等等，可以构造一个新函数！
林澈的笔尖在纸上疾书：
“考虑函数$\varphi(x)=f(x)-\frac{f(1)}{e-1}(e^{x^2}-1)$。则$\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=f(1)-\frac{f(1)}{e-1}(e-1)=0$。
对$\varphi(x)$应用罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$\varphi'(\xi)=0$。
而$\varphi'(x)=f'(x)-\frac{2xf(1)}{e-1}e^{x^2}$
故$f'(\xi)=\frac{2\xi f(1)}{e-1}e^{\xi^2}$
又由$\varphi(\xi)=0$得$f(\xi)=\frac{f(1)}{e-1}(e^{\xi^2}-1)$
两式消去$f(1)$，得$f'(\xi)=2\xi f(\xi)$。证毕。”
写完最后一个**，林澈长长舒了口气。
他知道这不是标准答案，但逻辑严密，自洽。而且，这个解法展现了他对数学工具的灵活运用——构造辅助函数，利用罗尔定理，然后消去参数。
他抬头看钟，考试开始四十分钟。教室里大部分人还在挣扎，前排的学霸张涛眉头紧锁，显然也被最后一题难住了。苏雨薇在检查卷子，但眼神有些飘忽。
林澈开始从头检查。
第一题，$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\tan5x}$。他盯着那个$\frac{3}{5}$，那种不对劲的感觉又来了。他重新计算：$\sin3x\sim3x$，$\tan5x\sim5x$，所以极限是$\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$。
但$\tan5x$在$x\to0$时等价于$5x$吗？$\tan\theta\sim\theta$当$\theta\to0$，这里$\theta=5x\to0$，没错。
可是……林澈闭上眼睛，前世赵建国讲解这道题的声音在脑中回响：“很多同学直接用了等价无穷小，但要注意，$\tan5x$在$x\to0$时确实是$5x$的高阶无穷小吗？我们严格计算一下……”
对了！赵建国当时强调了不能直接用等价无穷小，因为分子分母是加减关系？不，这里是乘除，可以用。
但教授说：“这道题我特意设计了一个陷阱，$\tan5x$在$x\to0$时等价于$5x$，但$\sin3x$等价于$3x$，所以答案是$\frac{3}{5}$——如果你这么想，就掉坑里了。因为$\tan5x=5x+\frac{125}{3}x^3+O(x^5)$，展开到三阶项会影响结果吗？我们算一下……”
林澈的笔在草稿纸上飞快运算：
$\sin3x=3x-\frac{27}{6}x^3+O(x^5)=3x-\frac{9}{2}x^3+O(x^5)$
$\tan5x=5x+\frac{125}{3}x^3+O(x^5)$
所以$\frac{\sin3x}{\tan5x}=\frac{3x-\frac{9}{2}x^3+O(x^5)}{5x+\frac{125}{3}x^3+O(x^5)}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1-\frac{3}{2}x^2+O(x^4)}{1+\frac{25}{3}x^2+O(x^4)}$
当$x\to0$时，这确实趋于$\frac{3}{5}$。所以答案没错。
但为什么教授要强调“陷阱”？
林澈突然明白了。教授是在说，虽然答案正确，但直接用等价无穷小的理由不够严谨，因为严格来说需要验证余项不影响极限。但作为一道选择题或者填空题，直接写$\frac{3}{5}$可以得分。作为计算题，可能需要写一两句说明。
他决定保持原答案。
检查完所有题目，时间还剩十五分钟。林澈放下笔，看向窗外。梧桐树的叶子在风中翻动，阳光在叶片间跳跃。他忽然想起前世考完这场试后，自己垂头丧气地去网吧打了一下午游戏，因为感觉又要挂科。
这一次，完全不同了。
“时间到，停笔。”
赵建国的声音响起。教室里响起一片如释重负的叹息，夹杂着几声哀嚎。林澈看着教授走下讲台，一张张收卷子。
收到他这里时，赵建国拿起他的答题纸，没有立刻放进口袋，而是站在那里看了几秒。林澈能看到教授的眼角微微抽动了一下。
“你……”赵建国开口，又停住，把卷子收走，“考得不错。”
只有三个字，但林澈听出了其中的分量。赵建国是出了名的严苛，从他嘴里说出“不错”，相当于普通教授的“优秀”。
卷子收齐后，教室里炸开了锅。
“最后一题完全不会！”
“张涛，你做得出来吗？”
“勉强写了几步，估计能得五分。”
苏雨薇转过头，看向林澈：“你最后一题做出来了吗？”
她的眼睛很亮，带着好奇。前世这时候，她没和他说话。
“做出来了。”林澈说，“但方法可能和标准答案不一样。”
“能给我讲讲吗？”她问，然后脸微微红了，“如果不麻烦的话。”
林澈点头，拿过草稿纸，开始画图讲解。他的声音平静清晰，从构造函数到应用罗尔定理，再到消去参数。苏雨薇听得很专注，偶尔点头。
讲完后，她轻声说：“你真厉害。”
这句话让林澈恍惚了一下。前世，苏雨薇从没对他说过类似的话。他们之间最深的交流，就是那次豆浆洒了后的道歉和尴尬。
“林澈。”
赵建国的声音在身后响起。教授不知何时走到了他们桌边，手里拿着刚才收上去的试卷——最上面那张是林澈的。
“你跟我来一下办公室。”赵建国说，表情严肃。
教室里安静下来，所有人都看向这边。苏雨薇露出担忧的表情，张涛则是一脸幸灾乐祸——大概以为林澈作弊被抓了。
林澈起身，跟着教授走出教室。
走廊里，赵建国走得不快，但每一步都很稳。阳光从尽头的窗户斜照进来，把两人的影子拉得很长。
“你的解题思路，”教授突然开口，没有回头，“是谁教的？”
“自学的。”林澈说。
“第七题的那个构造，$\varphi(x)=f(x)-\frac{f(1)}{e-1}(e^{x^2}-1)$，很巧妙。”赵建国停下脚步，转身看着他，“大学教材里没有这种方法。”
“我在图书馆看了些课外书。”
“哪本？”
林澈卡壳了。他不能说是前世在考研辅导书里学的。
“《数学分析中的典型问题与方法》。”他报了一个常见的书名。
赵建国盯着他看了几秒，然后继续往前走：“那本书第几页有这道题？”
“不记得了，很久以前看的。”
教授没再追问。两人走到办公室门口，赵建国推开门。这是一间很简朴的办公室，书架上堆满了数学书籍和期刊，桌上摊着未批改的作业。
“坐。”
林澈在对面坐下。赵建国从抽屉里拿出一张纸，是空白的试卷。
“现在，当着我的面，把第七题再做一遍。”教授说，递过纸笔，“用你想到的任何方法。”
林澈接过笔。他知道，这是测试他是否真的理解，还是只是背了答案。
他提笔，这次用了另一种方法——标准答案应该用的那种，构造函数$g(x)=e^{-x^2}f(x)$，然后对$g(x)$和$h(x)=e^{x^2}$应用柯西中值定理，巧妙地消去了$f(1)$。
五分钟后，他写完。
赵建国拿过去，看了一分钟，然后放下。
“你不是普通的学生。”教授摘下老花镜，揉了揉鼻梁，“我在大学教了三十年书，没见过大一学生有这样的数学素养。你的解法里，有些技巧是研究生阶段才会接触的。”
林澈保持沉默。
“我不问你从哪里学的。”赵建国重新戴上眼镜，“但我提醒你，天赋是礼物，也是责任。如果你真的对数学有兴趣，下周末来参加数学建模小组的选拔。”
这是一个机会。前世，林澈直到大二才知道有这个小组，想去时已经晚了。
“我会来的。”他说。
赵建国点头，把试卷还给他：“去吧。今天的事，不要跟别人说。”
林澈起身，走到门口时，教授又说了一句：
“林澈，无论你身上发生了什么，记住一点——知识是用来建设，不是用来炫耀的。”
这句话像一记重锤，敲在林澈心上。他转身，深深鞠躬：“我记住了，赵老师。”
走出办公室，走廊里空无一人。阳光依旧明亮，但林澈的心情复杂。他展示得太多了，引起了怀疑。但另一方面，赵建国的赏识是他需要的——这位教授在未来几年会成为数学学院的院长，在学术圈有相当的影响力。
回到教室时，同学们已经散了。只有苏雨薇还在座位上，看到他进来，立刻站起来。
“赵老师没为难你吧？”她问，眼里是真切的担忧。
“没有。”林澈说，“就是问了问最后一题的思路。”
“那就好。”她松了口气，“你刚才讲的解法，我回去想了想，还是有点不明白第三步……”
林澈看着她。阳光从窗户照进来，在她头发上镀了一层金边。前世，他错过了很多这样的时刻——因为自卑，因为觉得自己配不上。
这一次，他想试试不同的选择。
“我晚上去图书馆自习，”他说，“如果你有时间，可以一起，我慢慢给你讲。”
苏雨薇的眼睛亮了：“真的吗？那……七点，三楼自习室？”
“好。”
她笑了，那笑容很干净，像初春的阳光。林澈忽然觉得，重生也许不只是为了改变命运，也是为了不错过这些本该美好的瞬间。
离开教学楼时，手机震动。是比特币交易平台的提醒推送：“您关注的BTC/USD价格突破6800美元”。
林澈看着屏幕上的数字，又想起赵建国的话：知识是用来建设，不是用来炫耀的。
他有了知识，有了预知，有了重来的机会。
这一次，他要好好建设。
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